二元柯西不等式，a，b，x，y∈R，则（a＾2＋b＾2）（x＾2＋y＾2）≥（ax＋by）＾2。证明：（a＾2＋b＾2）（X＾2＋y＾2）一（aX＋by）＾2＝a＾2y＾2＋b＾2X＾2一2abXy＝（ay－bX）＾2≥0。当且仅当ay＝bX时取等号。
是两组数列{displaystyle a_{n}，b_{n}}的离散卷积相乘，{displaystyle c_{n}=sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}，该数列乘积被认为是自然数{displaystyle R[mathbb {N} ]}的半群环的元素。
一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：
{displaystyle left(sum _{n=0}^{infty }a_{n}right)cdot left(sum _{n=0}^{infty }b_{n}right)=sum _{n=0}^{infty }c_{n}，}
这里{displaystyle c_{n}=sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}，，n=0，1，2，ldots }。
