极点与极线的比例定理及推论 1
极点与极线的比例定理及推论 比例定理:若点P关于圆锥曲线G的极线为l，过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为D、C，则:. y D 证明:以抛物线G:y2=2px(p>0)为例. A
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则极线l:y0y=p(x+x0)， C P
=(注意到:y12=2px1，y22=2px2)= B
=(注意到:==k)=，而=，故以下只需证明:=1，即|ky1-p|=|ky2-p|k(y1+y2)=2p，由(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)(注意到:y1-y2=
k(x1-x2))k(y1+y2)=2p，证毕. 推论1(中点性质):若圆锥曲线G过点P的弦AB平行于点P的极线，则点P是弦AB的中点. 证明:分别过点A、B作极线l的垂线，垂足分别为D、C，弦AB平行于点P的极线lAD=BC，由AP:BP=AD:BCAP=BP点P是弦AB的中点. 推论2(平分性质):若点P关于圆锥曲线G的极线为l，过点P的直线与圆锥 y D
曲线G相交于A、B两点，分别过点A、B、P作直线l的垂线，垂足分别
为D、C、H，则AC与BD的交点M平分PH. H A 证明:因AD:BC=AP:BP，由AD∥BCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MC C M P
PM∥BCM在PH上又由PH∥BCPM:BC=AM:AC=DM:DB=MH:BCPM=MH D
M平分PH. 推论3(面积关系):已知点P关于圆锥曲线G的极线为l，过点P的直线与圆锥曲 D1
线G相交于A、B两点，分别过点A、B的两条平行线与直线l交于点D、C， C A
记△APD、△CPD、△BPC的面积分别为S1，S2，S3，则:S22=4S1S2. C1 P 证明:首先证明如下引理: O x B
