回答，一，不等式的两边同加上一个数不等式的符号不变。例如8＞7两位同加2得8十2＞7十2即lo＞9，二，不等式的两边同减去一个数原不等式的符号不变，8＞7两边同减去4得8一4＞7一4即4＞3，三，不等式的两边同乘以或同同除一个正数符号不变，8＞4两边同以2得8x2＞4x2即16＞8两边同除以2，8÷2＞4÷2，4＞2，四，不等式的两同乘以或同除以一个负数，得到的不等式符号要改变＞变＜，＜变＞。例8＞4两边同乘一2得8X（一2〉＜4X（一2〉，即一16＜一8两边同除以一个负数得的不等式符号要改变，8＞4两边同除以一2得8÷（一2〉＜4÷（一2）邵一4＜一2。
1、如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立 。
证明如下：
∵（a-b)^2≥0
∴a^2+b^2-2ab≥0
∴a^2+b^2≥2ab。
2、如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc，当且仅当a=b=c时等号成立 。
3、如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）
和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等） 。
积定和最小：当ab=P时，a+b≥2√P（a=b取等）。
均值不等式：如果a，b 都为正数，那么√(( a^2+b^2)/2)≥（a+b）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b）。（当且仅当a=b时等号成立。）( 其中√(( a^2+b^2)/2)叫正数a，b的平方平均数也叫正数a，b的加权平均数（a+b）/2叫正数a，b的算数平均数√ab正数a，b的几何平均数2/（1/a+1/b)叫正数a，b的调和平均数）。同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫同向不等式，例：2x+5>3与3x-2>5是同向不等式，异向不等式：不等号相反的两个不等式叫异向不等式。
绝对不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值不等式都成立，这样的不等式叫绝对不等式，例：X^2+3>0，√X+1>-1等都是绝对不等式。
矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式 。
条件不等式：不等式中对于字母所能取的某些允许值不等式能成立面对字母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这样的不等式叫条件不等式。例：3X+5>0 lg－<1等都是条件不等式。
首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法
假设对于
琴生不等式成立，那么对于
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。
如今对于一个普通的n，如果n不是2的幂，我们可以找到一个k，使得2^k>n
