不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。
狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。
实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：
（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）
假设f(x)=0，x为无理数
f(x)=1，x为有理数
由有理数和无理数的运算法则可以知道，所有的有理数与有理数的和都是有理数，与无理数的和都是无理数。
那么对于这个函数而言，取T为任意有理数，就都满足了，无论x是有理数还是无理数，这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数，而显然是不存在最小的有理数的，因而这个函数也就没有最小正周期了。
