证明：假设√3是有理数，则存在两个互质的正整数m，n，使得√3=nm，即3m2=n2.
∵3m2是3的倍数
∴n2是3的倍数
∴n是3的倍数.
设n=3t(t是正整数)
则n2=9t2，即9t2=3m2
∴3t2=m2
∴m也是3的倍数
∴m与n都是3的倍数，这与m，n是互质的整数矛盾.
所以√3是无理数.
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
根号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。 无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环
2、设x=根号3，则有方程x^2=3假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1，所以p=1或3，q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
